读《无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》


《无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》,[美]达纳·麦肯齐 著,北京联合出版公司。

 


作者选取的公式符合他认为的以下标准:1.令人惊讶;2.简洁;3.能够产生重大效果;4.具有普遍意义。

 

书中的一些方程并非数学定理,而是物理定律或理论。与数学定理不同,他们需要经过经验证据和统计检测确认,而且有时候,更为精确的实验会证明它们并非完美。

 

这本书中出了数学公式,还有相关数学家、物理学家、经济学家的故事。

 

本书中公式是按数学发展的时间顺序选取的,基本反映了数学发展的历史。对于我自己来说,它起到一个导读的作用,可以为我将来读《数学史》和《古今数学思想》做些热身。

 

但是随着公式出现得越晚,公式就越复杂,理解起来也越困难,如果复杂度一直上升,人类将来怎么办?

 

第一部分 古代的定理

 

1.我们为什么信赖算数:世界上最简单的公式

 

1加1等于2。

 

令人惊讶的一点是古代数学中有关加法讨论的证据不多。巴比伦和埃及的文献中充斥着乘法与除法表,但没有加法表。也许因为许多文化中使用较为简单的计数系统。一竖加一竖显然是两竖。

 

另外一个观念上极其重要的差别是,没有任何一种古代文化有着与我们今天的现代概念完全一样的“等式”概念。现代形式的等式是在一段一千年的时期中逐步产生的。

 

xy这样的未知量出现在16世纪后期。而等号直到1557年才第一次出现。英国数学家罗伯特·雷科德在《砺智石》中发明了等号:两条等长的平行孪生短线。当时的等号比现在长得多。

 

19世纪之前,数学家们都一直没有探究过我们相信1加1等于2的原因。

 

打破古代数学坚冰的第一道裂缝出现于19世纪初叶,即非欧几何的发现。

 

20世纪,怀特海德和罗素想从集合的角度证明算术是自洽的。但哥德尔让计划落空。

 

菲利普·戴维斯和鲁本·赫斯在他们1981年出版的《数学经验》一书中写到:“典型的数学家在工作日里时柏拉图主义者,而在星期天是形式主义者。”可能那些不是数学家的科学家在一周的每一天中都是柏拉图主义者,他们从来没有一刻怀疑过1加1不会等于2。

 

2.抗拒新理念:零的发现

 

对于零这个数字有两种不同解释。

 

第一种是表示空置数位。在古埃及或古罗马一类不使用位值系统的文化中不存在这个问题。

 

第二种是把它作为实际存在的实体对待,例如1减1等于零。这一概念于公元628年,在印度人婆罗摩笈多所著的一本题为《经过更正的梵天的论述》的书中第一次出现,而且是与负数一起出现的。

 

3.斜边的平方:毕达哥拉斯定理

 

非常可能的是,毕达哥拉斯既没有发现也没有证明“他的”定理。

 

毕达哥拉斯认为,世界万物都是由数字统治的。毕达哥拉斯学派发现了他们称之为“完全数”的数字,也就是那些等于自己全部真因子之和的数字。还有一个概念是质数。

 

毕达哥拉斯很可能在巴比伦学习到了毕达哥拉斯定理。

 

一旦数学走出了毕达哥拉斯的迷雾,走向新发现的道路便畅通无阻,于是就有了西奥多罗斯、欧多克索斯、埃拉托色尼、欧几里得、阿基米德等人的发现。如果我们赞美古希腊数学就应该把大部分功绩归于毕达哥拉斯的秘密社团崩溃之后的公开探索精神,而不是归于他的秘密社团。

 

刘徽对《九章算术》的倾注是其中最优秀的一个。刘徽用“割补法”证明了勾股定理。

 

在古希腊,毕达哥拉斯定理导致了根号2的出现,而在中国,从来没有数学家清楚地阐述过无理数的概念。

 

中国的勾股定理出现在匿名著作《九章算术》中。

 

古代希腊用归谬法证明了无理数存在,而古代中国对求出具体数值更感兴趣。这类差别又一次提醒我们,并不存在研究数学的唯一正确途径。

 

4.圆的游戏:π的发现

 

π的定义有两个,一个是圆的周长与直径的比值,另一个是圆的面积与半径平方的比值。

 

把这两个概念清晰地联系起来的第一个人是阿基米德,他在《圆的测量》的手稿中把周长与面积联系起来。

 

几个世纪后,刘徽与阿基米德用了相同的方法计算π值,他们都使用了内接正96边型。但刘徽得出了更精确的数字3.1416。

 

1500年前,喀拉拉学派的一位佚名印度数学家发现了更优美的公式来计算π。后来它被用最早的欧洲发现者命名,称为格里高利-莱布尼茨公式。这里,几何、算术、无穷分析被结合起来。

 


用符号π表示圆周率的方法是1706年由威廉姆·琼斯首倡,由欧拉推广。

 

约翰·兰伯特在1761年证明了π的无理性。费迪南德·林德曼在1882年证明了π是一个超越数。

 

1995年,三位数学家——大卫·贝里、彼得·波温和西蒙·普劳夫还发现了一个能够自我修正的π的公式,就是说,你在计算第527位时犯了错误,后面的计算依然有效。使用这个公式的限制条件是,把π写成十六进制数字。

 

(我搜了搜网上,《世界科学》有一期刊载了一篇文章介绍了这个公式,但是文章收费。)

 

5.从芝诺悖论谈起:无穷的概念

 

阿基米德证明了一个抛物线被直线截去的封闭面积,等于它以直线为底的内接三角形面积的4/3。

 

6.杠杆作用的重要性:杠杆原理

 

阿基米德的名声更多的源于其物理发现和机械发明,但他最引以为傲的成果是他证明了球体体积是它的外接圆柱体体积的三分之二。

 

阿基米德的工作代表了应用数学与几何还有孕育中的无穷大概念的完美统一。

 

《论浮体》一书中还包含了不同形状的物体与它们的稳定漂浮形状的大量信息。这是让造船工程一改反复尝试的做法而通往科学的第一步。

 

第二部分 探索时代的定理

 

塔尔达利亚的卡尔达诺公式开创了数学上的一个探索时代,这一时代将改变世界数学的疆界,其深刻成度不亚于哥伦布的发现对于真实世界地理面貌的改变。但是在一个重要方面,这个公式不如微积分基本定理。

 

7.口吃者的秘密:卡尔达诺公式

 


塔尔达利亚发现了求解三次方程的方法,并告诉了卡尔达诺,要求后者遵守誓言不能公之于众。卡尔达诺的仆人费拉里借助它获得了求解四次方程的方法,并将两种方法公之于众。这一公式却使用卡尔达诺的名字命名。

 

数学的繁荣来自公开的交流。仅仅发现了新大陆还不够,发现者还必须让这一发现为世人所知,只有卡尔达诺采取了这最后一步。

 

卡尔达诺公式具有长期的影响,甚至超过了它所解决的问题本身的重要意义。它是首次吸引人们在数学中使用虚数和复数的事物之一。

 

如果没有虚数,现代数学和物理学都无法想象。

 

1824年,挪威的数学家阿贝尔证明,对于五次方程,不存在任何卡尔达诺式的求解公式。

 

8.九重天上的秩序:开普勒的行星运行定律

 


9.书写永恒:费马最后定理

 


数论是研究有整数解的方程的理论,费马是对数论产生浓厚兴趣的第一位现代欧洲数学家。

 

怀尔斯和他的学生解决了费马“定理”的证明问题,终于确定了这个猜想是一个定理。

 

n=5时,费马问题就发生了意义的重大改变。要做出n=5的证明,人们要有19世纪的复数与代数数域的方法,这是费马时代没有的。所以费马很可能没有证明他的定理。

 

10.一片未曾探索过的大陆:微积分基本定理

 


两位伟大的发现者,牛顿和莱布尼茨。他们各自独立发现了微积分,牛顿略早发现,但是莱布尼茨最先告知世人。莱布尼茨的表述方法更简单,牛顿的表述已经和他本人一起离世了。

 

一切与微积分基本定理有联系的数学范畴都被称为“分析”,还被细分为实变函数分析、复变函数分析、泛函分析等。区别在于知识分子的严谨。

 

微积分论证中最艰难的部分在于对无穷小的理解。

 

11.关于苹果、传说……以及彗星:牛顿定律

 


12.伟大的探索者:欧拉定理

 


欧拉擅长函数与无穷级数。

 

欧拉获得了十二次巴黎国际数学大奖赛。

 

他首创了今天所有数学家都在使用的表示法:用e表示自然对数的底数、用i表示-1的平方根、用f(x)表示函数。

 

他找出了让牛顿运动定律适用于流体的方法,他所得到的方程至今仍被称为欧拉的流体力学方程。

 

V-E+F现在被称为欧拉示性数:它是一个拓扑不变量,用以区分不同的二维表面。V是多面体的顶点数,E是棱数,F是面数。

 

欧拉乘积或许是人们有史以来发现的最重要的公式。今天我们知道的有关质数分布的大部分知识来自对ζ函数的细心研究。

 

第三部分 普罗米修斯时代的定理


汉密尔顿发明了四元数。这一步骤与其他数学家对于新几何新函数的发现几乎同步,这些发现共同作用,把数学家从传统的结构与束缚中解放了出来。

 

13.新的代数:汉密尔顿与四元数

 


汉密尔顿认为四元数的第四维可以代表时间。但汉密尔顿的四元数里,三个虚数代表了空间,一个实数却代表了时间。而在闵可夫斯基和爱因斯坦的思想里,时间是虚数。

 

四元数不适用于乘法交换律。

 

汉密尔顿的朋友格雷夫斯发现了八元数代数。然而,每当维数增加一倍时就会有些牺牲。从二维到四维,人们丢失了交换律;从四维到八维,人们丢失了结合律;而从八维到十六维,人们丢失了除法。至此汉密尔顿定义超复数的计划戛然而止,因为他一直坚持除法是必须有的运算。

 

其他数学家没有这样的心理情节。你可以找出由加、减、乘三种运算组成的代数结构,把它们叫作环;也可以只要加减,或者只要乘除,叫作群;甚至把运算缩减为一种,叫作幺半群。

 

人们有这么多可供选择的代数结构,现在的问题不再是哪些结构是可能的,而是哪些结构值得研究。

 

一个标准是新结构有助于解决已经存在的问题,另一个标准是它会有深刻的、有固有美感的理论。群的结构符合这两个标准。

 

14.两颗流星:群论

 


挪威的阿贝尔和法国的伽罗瓦都早夭,一个26岁一个20岁,但他们创立了群论。

 

要想求证某项任务不可能确实很困难。这不是一件靠尝试法就能解决的问题。为完成这一任务你得到了一些工具,你必须发现这些工具本身带有与生俱来的缺陷,这才能证明你的任务是不可能完成的。

 

阿贝尔和伽罗瓦并没有证明五次多项式方程无解,他们证明了四则运算加上根式运算不足以表达这些解。埃尔米特证明任何五次方程的解可以用阿贝尔发现的椭圆函数写出。

 

另外一个原因成就了伽罗瓦的证明的不朽名声。他提出的群的概念现在已经变成了数学家用以表达对称这一古老想法的主要工具。

 

他发明的群论,实现并超越了发明者的梦想。化学家用群论描述晶体的对称性。物理学家用群论描述亚原子粒子的对称性。当物理学家想要创造一种新的场论时,他们就会从创造这种场论的对称群开始。

 

15.鲸鱼几何与蚂蚁几何:非欧几何

 


老波尔约研究欧几里得平行线公理无果,告诫小波尔约不要证明平行假设。但小波尔约发明了非欧几何。高斯本有这个设想,但他不但缺乏发表自己发现的勇气还打击了小波尔约,说非欧几何毫无新意。

 

由于高斯言不尽意,小波尔约轻言放弃,这让非欧几何为人瞩目的大部分功绩属于俄罗斯的罗巴切夫斯基。

 

在俄罗斯,罗巴切夫斯基发明的几何叫作罗巴切夫斯基几何,欧洲人更为贴切地称之为双曲几何。

 

想象你是一头鲸鱼。在深邃的大洋里光线不是很有用,因为水中很暗。所以你主要靠声音感受外界、与外界交流。在你的世界中,两点之间的最短距离将是声波走过的路径,这相当于一条直线。由于声音在大洋中的传播速度并不是时时处处相等,在某一深度以下,它的传播速度跟它与水面的距离成正比。所以声波传播的路径是曲线。在鲸鱼的几何中,曲率是负值,最初平行的直线之间的距离会越来越大。

 

而球面几何中曲率是正值,一个三角形可以有三个直角。过去没有人把球面几何看作有别于欧几里得几何的一种几何,原因很简单:我们可以把一个球体看成是镶嵌在欧几里得三维空间中的形体,因此它的非欧性质并非显而易见。如果想象一只蚂蚁住在一颗没有山脉和海洋的小行星上,它感觉不到第三维,它的一切只是一个球面。这里的几何可以叫做蚂蚁几何。

 

我们也可以想象变曲率的几何和更多维度的几何。高斯是第一个理解二维空间中变化曲率概念的数学家,他的学生黎曼将这一概念推广到了更高维的情况。他们二人为广义相对论提供了数学基础。

 

16.我们信赖质数:质数定理

 


高斯证明了正17边形可以用尺规作图法画出。早在1673年,笛卡尔就在《几何学》书中发明了一种线段是否可以画出的简单标准:如果某一线段的长度可以只用整数的五种代数运算操作,则这条线段可以用尺规法从一条已知单位长线段中画出。

 

为了证明(360/17)°是一个可以画出的角度,他求解了17次方程。

 

在《算术研究》中,高斯指出如果n的所有奇质数因子都比2的某次方幂多1,且这些奇质数因子只在n中出现一次,则正n边形可以画出。

 

现在只知道5个满足这一标准的质数:3、5、17、257、65537。

 

质数在数论中扮演核心角色。正是通过所有质数的乘法运算,才组成了所有其他一切数字。

 

如何理解质数的分布方式,是它们让人感到神秘莫测的地方之一。

 

高斯的猜想在1898年被证明后叫作质数定理,它为质数的分布提供了异常精确的预测。阿达马和瓦来普桑,分别独立证明了这个定理。切比雪夫和黎曼在这之前都做了贡献。

 


17.关于谱系的想法:傅里叶级数

 


今天,任何学习数学的大学生在学习时都不可避免地会读到19世纪上半叶中一大批法国人的名字,其中包括拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、柯西、刘维尔、泊松和傅立叶。

 

法国数学家历经法国革命、革命后的恐怖时期、拿破仑的崛起、拿破仑的流放及归来、君主制复辟、查理王逊位和路易·菲力浦王的即位,最后还有第二共和国和第二帝国等风雨,但却依然在蓬勃发展。所有这些政治命运的急剧变化都曾改变了个别数学家的生命轨迹,他们的命运随着他们选择追随的领袖的命运起伏动荡。尽管如此,作为整体的法国数学文化依旧繁荣。这种现象的原因之一或许是法国社会活动性的增加,它让任何有天赋而且运气不算太坏的人能够得到受教育和获得职业的机会。

 

1798年拿破仑征伐埃及时,随队的科学家里就有傅立叶。滑铁卢战役为傅立叶的政治生涯画上一个句号,但这有助于他的科学生涯。

 

傅立叶建立的热传导方程准确地指示了当前的温度分布会如何影响以后的温度。

 

每当你阅读一份天气预报时,你所读到的实际上是描述大气中热量、空气和水分运动的几个偏微分方程的解。

 

傅立叶宣称,任何温度分布都可以写成正弦波的和的形式(并非仅仅是有限和式——人们今天称这种无限和式为傅立叶级数)。

 

傅立叶的论文标志着,函数从此开始有了更广阔的概念,即我们今天使用的输入-输出模式。函数不过是一种规则,它赋予任何输入值独一无二的输出值。输入值与输出值甚至不需要是数字,而那种规则自然也不需要一定能够表达为公式。

 

对于带有不连续点的函数,“f-帽-帽”=f不成立。天文学家使用傅立叶级数和傅立叶变换来确定遥远天体上存在着各种分子,无线电收音机利用这一原理选择特定频道。

 

傅立叶的论文的发表备受老师拉格朗日的阻挠,在拉格朗日死后,论文才得见天日。

 

18.上帝之眼中看到的光:麦克斯韦方程

 


牛顿定律解释了固体物体对机械力的反应,欧拉的流体力学方程解释了流体对机械力的反应。然而电、磁与光的本质依然神秘。麦克斯韦找到了把这一切联系起来的理论。

 

菲涅尔把光视为横波,解释了干涉、衍射和折射这三种现象。

 

麦克斯韦在一篇论文中用斜体字写道:“我们将几乎无法避免地推断,光是由引起了电现象与磁现象的同一种介质的横波纹组成的。”

 

麦克斯韦的大部分方程并非他自己首创。这些方程分别叫作高斯定律、法拉第定律和安培定律。麦克斯韦仅有的新贡献是当考虑电流时加入安培定律的修正项。尽管如此,他认识到这些方程可以放入同一个系统,以及他有关电场和磁场是基本媒介的想法,这些完全是麦克斯韦的功绩。同样,发现这些方程中唯一的物理常数光速c是一个不变的基本物理常数,也是麦克斯韦的功绩。

 

麦克斯韦方程预言电磁波可以以不同的波长存在,预言电磁波可以通过振荡电场产生,暗示光本身可以产生压强,为爱因斯坦指明了发现相对论的道路。

 

第四部分 我们这个时代的定理

 

作者选择爱因斯坦作为20世纪数学定理史的起点。

 

有时候,后入教的皈依者会成为最好的传道者。爱因斯坦是一位不情不愿的数学家,但他增加了数学这一学科的光彩,这一点他当之无愧。

 

19.光电效应:量子与相对论

 


光电效应方程与E=mc?高中物理学过。光电效应理论打响了量子革命的第一枪。

 

如果爱因斯坦只是一位普通的科学家,或者他只是一位普通的诺贝尔奖得主,公式E=hv都足以成为他一生事业的最高成就。然而这一公式都不是他以E打头的最著名公式。

 

日本广岛的原子弹爆炸中实际转化为能量的物质的重量只比一颗气枪子弹大一点点。

 

广义相对论场方程的左端是空间曲率的测度,右端是应力-能量张量,代表质能的传播。

 

相对论理论大师约翰·惠勒言简意赅地表达了这些方程的含义:“物质告诉时空如何弯曲,弯曲的时空告诉物质如何运动。”

 

20.从劣质雪茄到威斯敏斯特大教堂:狄拉克公式

 


施特恩和格拉赫还有雪茄的故事。银原子束一分为二,通过雪茄烟中的硫形成硫化银,在屏幕上形成黑影。一根雪茄确认了量子理论的假说。

 

狄拉克改进了爱因斯坦的E?=m?c四次方+p?c?公式,这是质能等价公式的修正公式,包括了电子角动量p。狄拉克不想把爱因斯坦的公式两边加上平方根,他认为那不简洁。他把他的公式写成了矩阵形式,然而它其实和汉密尔顿的四元数一样,不同的只有名字。狄拉克重新发现了四元数。

 

狄拉克对爱因斯坦公式的另一处改动,是把能量改写为作用在波函数上的一个算子。

 

狄拉克公式里有四个成分,两个可以解释为电子的两个自旋方向,另外两个预言了正电子。这是世上第一次,一位物理学家通过纯粹数学的手段成功预言了过去未知的粒子的存在。

 

狄拉克方程也揭示,宇宙中有两种根本不同的量子粒子,一种是具有矢量波函数的玻色子,另一种是具有四元数(旋量)式的波函数的费米子。所有普通物质的基本粒子都是费米子。

 

这一模式解释了元素周期律。

 

狄拉克公式的实际应用有激光、正电子发射计算机断层扫描术、核磁共振成像术。

 

在狄拉克方程引导下,量子物理学家更好地认识了真空,那里有各种能量,各种粒子与反粒子突然出现又消失。粒子是在量子场中的涨落现象。

 

继承牛顿的卢卡斯数学教授职衔。葬在威斯敏斯特大教堂内离牛顿墓不远的地方。

 

21.王国缔造者:陈省身-高斯-博内公式

 


20世纪的数学有三个趋势。

 

趋势一。从爱因斯坦开始,物理学家时常吃惊地发现,数学原来早已准备好了他们所需要的工具。数学家们也不断地意识到,是物理学上的问题和定理带来了最有趣、最深刻的数学发展。

 

趋势二。黎曼使变化曲率的几何成为可能之后,在20世纪下半叶有了爆发式发展,变成了数学的一个核心领域。

 

趋势三。全球化不断增加。

 

陈省身当仁不让例示这三大趋势。

 

微分几何中最重要也是最有意思的数值正是那些独立于坐标选择的指标。例如,爱因斯坦的广义相对论中,物理定律独立于坐标系。

 

陈省身把老师嘉当的理论从只适于描述较小的弯曲空间的局部方法改进为能够总体处理空间的全面理论。

 

高斯-博内定理是古代几何学(三角形内角和是多少度?)与现代几何学(我们如何描述弯曲表面的总体性质?)的分水岭,那时我们就告别了古代几何学。为了让高斯-博内定理从局部推广到整体,我们不仅需要在一个三角形上加和曲率,而且需要在外面的整个表面上加和曲率。

 

高斯-博内定理有两个特点。一,曲率K是表面的固有性质,并非在表面之外才能检测表面。二,表面的总曲率是量子化的,永远是2π的整数倍。

 

高斯-博内定理在任何偶数维弯曲空间或流形上成立。

 

1963年阿蒂亚和辛格更清楚地阐明了数学与物理之间的联系。他们不但求解了狄拉克方程而且同时(除了其他成果之外),还在这一过程中直接证明了陈-高斯-博内定理。

 

为什么陈省身-高斯-博内定理如此重要?因为只要我们想理解我们生活于其中的这个宇宙,我们就只能在这个宇宙之内,而不存在走出这个宇宙的可能。

 

数学是有关一切可能的宇宙的。为理解那些具有偶数维的光滑流形的宇宙,我们需要同样的场的表达形式和同样的狄拉克方程。

 

22.有一点无限:连续统假说

 


在本书里,我最喜欢这一章。在很长一段时间里,康托尔的乐园总是吸引着我。

 

在接近19世纪末的时候,数学家们开始形成了一个共识,认为集合,而非数字,才是建筑数学大厦的基本材料。

 

基数性是很么?两个集合之间有没有一一对应的关系?可数无限集之间如何运算?

 

康托尔的对角论证是现代数学最根本、最基础的突破之一。

 

数轴上整数的基数是阿列夫零,连续统是数轴上其他数集的基数c。康托尔认为不会有在阿列夫零与c之间的超限数。

 

一些数学家否定康托尔的工作,希尔伯特强烈支持康托尔的工作,他写道:“任何人也不应该拒绝我们进入康托尔创建的乐园的权利。”

 

希尔伯特著名的23个数学问题,连续统假说排第一,第二是证明数学的一致性,这两个问题是相关的。

 

哥德尔意识到,在任何公里系统中存在着阿列夫零种可能的陈述。每种陈述分为正确的,错误的,可以证明的,不可以证明的,胡言乱语无意义的。每一种陈述都可以赋予一种独一无二的识别数字。想象存在着一个集合L,所有可证明的陈述的识别数字都在这一集合中。这样一来就把某个特定陈述不可证明的断言归化为数学上的论断:“这一数字不在集合L中。”哥德尔运用了康托尔的对角论证的一种版本来证明,在形如“这一数字不在集合L中”的所有句子中至少有一个句子事实上不在可证明陈述的名单之内。因此,这一特定陈述既正确,又不可证明。

 

作者认为哥德尔不完备定理相当于海森堡的测不准原理,二者都为人类理解的可能极限划定了疆界,其中一个在数学领域中,另一个在物理学领域中。人类在十年之间相继做出了这两大发现。人类在19世纪满怀维多利亚式的信念,对人类知识的进步与完善充满了遐想;而此后,20世纪的人类开始进入了对自己的局限性有所认识的时代。这两大里程碑式的发现是一个时代的哲学完全形态的组成部分。

 

哥德尔并没有找到一个有实际数学内容的不可证明的陈述,即一个数学家或许会真正予以关注的数学陈述。

 

哥德尔与科恩分别证明了连续统假说无法通过策-弗集合论公理证明为伪和真。连续统假说独立于集合论的其他公理。

 

你永远也无法证明一个公理体系,那不过是一个出发点而已。

 

23.混沌理论:洛伦兹方程

 


这个洛伦兹不是那个洛伦兹变换的洛伦兹。这是爱德华·洛伦兹。

 

在一篇短文中,洛伦兹几乎确定了混沌的所有主要组成部分,尽管他没有为它们命名:对初始条件的敏感依赖性;受无限复杂而又优美的几何结构(人称奇异吸引子)控制的长期行为;可以令混沌产生或消除的一个或几个参数;非线性但完全确定的动力学。

 

混沌在线性系统中不会出现,不会在小于三个变量的连续时间系统中出现,不会在任何一个方程的解能写成公式的系统中出现。

 

离散型时间系统中,比如在生物学家罗伯特·梅描述某物种群体总数逐年变化的方程中,即使只存在一个变量,混沌也有可能发生。

 

所有混沌理论学家都承认的第一个踏入混沌研究的人是庞加莱,他曾努力解答三体问题无果。

 

同步混沌。

 

量子混沌有限形式。

 


24.驯虎:布莱克-斯科尔斯方程

 


老虎终究还是老虎,金融市场终究是金融市场。

 

自从布莱克和斯科尔斯取得突破性进展以来,市场在1987、1998和2007年三度咬伤了那些认为他们可以驯服市场的人们。

 

布莱克-斯科尔斯方程左端代表你购买期权并根据布莱克与斯科尔斯开出的药方对其进行动态对冲所能得到的投资回报率。方程右端代表你单纯把钱存到银行中所能得到的回报率。

 

结论:将来会如何?

 

好消息,世界范围内,数学与科学的事业看上去非常健康。重要公式的绝对数量持续上升。

 

坏消息,有趣又优美的方程似乎在20世纪已经达到顶峰了。同时,最重要的数学行为模式可能再也无法以方程的形式表达了,而是在计算机上编码、收集数据并筛选。另外,数学在生物学上的应用还不太理想。

 

数学有异乎寻常的悠久传统。某些事情不会很快地改变。

 



下一篇 : 萌出血的可可狮子饼干,做起来超简单的,只要两个颜色的面团就搞定,小狮子咬在嘴里,脆脆香香的~

微信扫一扫
分享文章到朋友圈